BİLİM YOLCULUĞUNDA SAYI KÜMELERİNİN GELİŞİMİ

Kümeler konusu kavranmadan matematiği anlamak pek mümkün değildir. Bu yüzden Alman matematikçi Gottlob Frege aritmetiğin temellerini kümeler üzerine kurmaya çalışmıştır. Günümüzde de sayı kümeleri tam kavranmadan matematik problemlerini çözmek pek mümkün değildir.


Sayı kümeleri; doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesi, irrasyonel sayılar kümesi, reel (gerçek) sayılar kümesi ve karmaşık sayılar kümelerinden oluşmaktadır.
Mûsâ el-Hârizmî, Hesab-ül Cebir vel-Mukabele adlı eserinde “Sekizden sekiz çıkarsa hiç kalır. İşlemlerde kargaşaya neden olmasın diye bu hiçi ifade etmek için bir yuvarlak çiz” ifadesiyle sıfırı bugün kullandığımız manada (bu şekilde ilk defa sıfır dört işlemde kullanılmaya başlandı) matematiğe kazandırdıktan sonra doğal sayılar kümesinin sıfırdan başlayıp sonsuza doğru devam ettiği kabul edildi. Doğal sayılar daha çok günlük hayatta çoklukları sayma ve hesaplama işlemlerinde kullanıldı. Tam sayılar kümesi ise doğal sayılar kümesine negatif sayılarında eklenmesiyle oluşan sayılardır. Tam sayılar daha çok borç alacak ve yön belirtme işlemlerinde kullanılır. Örneğin cebimde 5 TL olması durumunu +5, arkadaşıma 5 TL borçlu olma durumunu -5 ile ifade ederiz. Deniz seviyesinde 65 metre yüksekte olma durumunu +65, deniz seviyesinden 65 metre alçakta olma durumunu -65 metre olarak ifade ederiz. Sayı doğrusunda sıfırın sağında olan sayıları +, sıfırın solunda olan sayıları ise – ile ifade ederiz. Bu iki sayı kümesini rahatlıkla zihnimizde oluşturabiliriz.
Rasyonel sayılar, bölen sayı 0 (sıfır) olmamak koşulu ile iki tam sayının birbirine bölümünden oluşan sayılardır. Tanım gereği rasyonel sayılar kümesinde küsuratlı sayılar (1.5, 3.18, 5.716, 0.863, … gibi) ile birlikte tam sayılar ve doğal sayılar da bulunur. Rasyonel sayılardaki rasyonelin anlamı akla dayanan, mantıksal olan anlamındadır.

Milattan önce 500’lü yıllarda rasyonel sayılar evreni tanımlamada kusursuz sayılar olarak görülüyordu. Pisagor rasyonel sayıların kusursuzluğuna o kadar kaptırmıştı ki kendini bu sayıları evreni yöneten bir tanrı olarak tanımladı. Pisagorcular evrendeki tüm büyüklük, uzunluk ve çoklukların rasyonel sayılar ile ifade edilebileceğini savunmuşlardır. Örneğin çeyrek elmayı ifade edebilmek için bir bütün elmayı dört eşit parçaya bölüp bu parçalardan birini göstermişlerdir. Burada 1 ve 4 birer tam sayıdır ve bu iki tam sayının birbirine oranı birçokluğu ifade etmede kullanılmıştır.


Fakat Pisagorun genç öğrencisi Hippasus farklı düşünüyordu. Ona göre gerçek bazen bizim algı sınırlarımızı aşabilirdi. Hippasus insanın doğruyu algıma şeklinin yaşadığı toplum ve dönemden bağımsız olmadığını biliyordu.  Hippasus hayatına mal olacak bu görüş üzerinde çalışmaya başladı. Dik kenar uzunlukları birer birim olan bir ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün (dik açının karşısındaki kenarın) uzunluğunun iki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayacağını ispatladı.[1] Bu ispatı ile yepyeni bir sayı kümesi keşfetmiş oldu: Rasyonel olmayan sayılar kümesi. Pisagor’un yaşadığı döneme göre akla uygun olmayan sonsuz tane elemandan oluşan yepyeni bir küme. Bu buluşu ile Hippasus Pisagorcular tarafından dinsiz biri olarak ilan edilip bir gemi yolculuğu esnasında köpek balıklarının olduğu bölgede denize atıldı. Daha sonra Hippasus’un arkadaşları Hippasus’un bulduğu bu yeni kümeye “irrasyonel sayılar kümesi” adını verdi. Bulunan bu yeni sayılar her ne kadar o dönem için akla ve mantığa uygun gibi görünmese de sonuçta varlardı ve gerçeklerdi. Daha sonra bu irrasyonel ve rasyonel sayıların birleştirilmesi ile oluşan kümeye “reel (gerçek) sayılar kümesi” adı verildi.

Bir sayının karesinin de negatif olabileceği fikrinden “karmaşık sayılar kümesi” ortaya çıktı. Karmaşık sayıların bir gerçek kısmı bir de sanal kısmı vardır. Bu sayılar iki boyutludur. Bu sayılar arasında büyüklük küçüklük sıralaması yapılamaz. Bir dönem bu sayılarda aklımızın sınırlarını son derece zorluyorlardı. Hatta bu sayılardan aldığı ilham ile 1865 yılında Alice Harikalar Diyarında masalını yazan matematikçi Lewis Carroll bir dönem son derece hayal ürünü gibi görünen şeylerin aslında ne kadar gerçek olabileceğini anlatmaya çalışmıştır. O dönem sadece hayal ürünü gibi görünen bu sayılar şimdi bilgisayar biliminde, makine ve havacılık mühendisliğinde aktif bir şekilde kullanılmaktadırlar.


Tarihe baktığımızda bunun gibi yüzlerce örnek görebiliriz. Bir dönem bazı kuralların yüzde yüz doğru olduğu kabul edilir. Fakat biri çıkar bu kuralları yeniden sınar. Herkesin o kuralı doğru kabul etmesi doğruluğun ölçütü olamaz diye düşünür. İşte bu kişi tarihte yepyeni bir sayfa açar. Ya eski bilgileri tamamen değiştirir ya da yepyeni aksiyomlar ortaya koyar. Bir dönem atom bölünemez olarak biliniyordu. Hatta atom sözcüğü Yunancada "bölünemez" anlamına gelen "atomos" sözcüğünden türetilmiştir. Oysa şimdi atom parçalanarak nükleer enerji ve nükleer silahlar üretilmektedir. Öklid geometrisi bir dönem tek doğru kabul ediliyordu. Fakat Öklid geometrisi sorgulanmaya başlayınca Öklid dışı geometriler keşfedildi. Bertrand Russell Aritmetiğin Temellerini sorgulayınca paradokslara[2] yepyeni bir bakış açısı geldi.


Bilimsel çalışmalar sonucu elde edilen hiçbir bilgi mutlak doğru değildir. Olaylara kuşku ile bakıldığında daha doğru sonuçlara ulaşılabilir. Sorgulama ve irdeleme ile bilim ve teknikte ilerleme kaydedilebilir. Çünkü yapılan bu bilimsel çalışmalar yaşadığımız çevreden, sahip olduğumuz bilgi düzeyinden, inanç sistemimizden bağımsız değildir. Araştırmalı, sorgulamalı, var olan bilimsel yasalara ve formüllere yepyeni bir bakış ile bakabilmeliyiz. Bu şekilde biz de yepyeni buluşlar ve keşifler yapabilir, yepyeni formüller geliştirebiliriz.


[1] Detaylı bilgi için Marcel Boll’un Matematik Tarihi adlı kitabına bakınız.
[2] Detaylı bilgi için Russel Paradoksuna bakınız.